Risoluzione di equazioni differenziali direttamente con le reti neurali (con codice)
In fisica, matematica, economia, ingegneria e in molti altri campi, le equazioni differenziali descrivono una funzione in termini di derivate delle variabili. In parole povere, quando è coinvolto il tasso di variazione di una variabile in termini di altre variabili, probabilmente troverai un'equazione differenziale. Molti esempi descrivere queste relazioni. La soluzione di un'equazione differenziale viene generalmente derivata tramite metodi analitici o numerici.
Anche se ricavare la soluzione analitica può essere un compito noioso o, in alcuni casi, impossibile, una rete neurale basata sulla fisica (PINN) produce la soluzione direttamente dall'equazione differenziale, bypassando il processo analitico. Questo approccio innovativo alla risoluzione delle equazioni differenziali rappresenta un importante sviluppo nel campo.
UN articolo precedente dall'autore ha utilizzato un PINN per trovare la soluzione di un'equazione differenziale che descrive un semplice circuito elettronico. Questo articolo esplora il compito più impegnativo di trovare una soluzione quando si guida il circuito con una funzione di forzatura. Considera il seguente circuito elettronico collegato in serie che comprende un resistore Rcondensatore Cinduttore le una sorgente di tensione sinusoidale V peccato(ωt). Il comportamento del flusso di corrente, Esso)in questo circuito è descritto dall'equazione 1, un'equazione differenziale non omogenea del 2° ordine con funzione forzante, Vω/L cos(ωt).
Soluzione analitica
La soluzione analitica all'equazione 1 richiede la risoluzione dell'equazione per tre casi a seconda della relazione tra l E ω₀. Come visto di seguito, ciascuno si traduce in una formula complicata e unica per Esso). Nei test presentati più avanti Risultatiqueste soluzioni verranno confrontate con i risultati prodotti da un PINN. Il PINN produrrà la soluzione direttamente dall'equazione differenziale senza considerare questi casi.
(È disponibile una soluzione analitica dettagliata dell'autore che utilizza le tecniche di trasformata di Laplace Qui.)
Caso 1: Sottosmorzamento (λ/2 <ω₀)
Lo smorzamento si riferisce alla velocità con cui il circuito passa dal transito iniziale all'equilibrio. Una risposta sottosmorzata tenta di effettuare una transizione rapida, ma in genere passa da un superamento all'altro prima di raggiungere l'equilibrio.
Caso 2: smorzamento eccessivo (λ/2 >ω₀)
Una risposta eccessivamente smorzata passa lentamente dal transito iniziale all'equilibrio senza subire cicli di overshooting e undershooting.
Caso 3: smorzato in modo critico (λ/2 = ω₀)
Una risposta smorzata in modo critico si colloca tra sotto-smorzata e sovra-smorzata, fornendo la risposta più rapida dall'inizio del transito all'equilibrio.
Soluzione PIN
Il codice PyTorch è disponibile Qui.
Una rete neurale viene generalmente addestrata con coppie di input e output desiderati. Gli input vengono applicati alla rete neurale e la propagazione all'indietro regola i pesi e i pregiudizi della rete per ridurre al minimo una funzione obiettivo. La funzione obiettivo rappresenta l'errore nell'output della rete neurale rispetto all'output desiderato.
La funzione oggettiva di un PINN, invece, richiede tre componenti: una componente residua (ogg ᵣₑₛ) e due componenti della condizione iniziale (obj ᵢₙᵢₜ₁ E ogg ᵢₙᵢₜ₂). Questi vengono combinati per produrre la funzione obiettivo:
Residuo
La componente residua è dove informato dalla fisica entra in gioco. Questo componente, incorporando le derivate dell'output, vincola la rete a conformarsi all'equazione differenziale che la definisce. Il residuo, l'equazione 6, si forma riorganizzando l'equazione 1.
Durante l'allenamento, i valori di T vengono presentati all'input della rete neurale, risultando in un residuo. La backpropagation riduce quindi la componente residua dell'obiettivo ad un valore minimo vicino a 0 su tutti i punti di allenamento. La componente residua è data da:
La derivata prima e la seconda, di/d E d²i/dt²richiesti dall'Equazione 6 sono forniti dalla funzione di differenziazione automatica nelle piattaforme di rete neurale PyTorch e TensorFlow.
Condizione iniziale 1
In questo esempio di circuito, la prima condizione iniziale richiede che l'uscita del PINN, i
Fonte: towardsdatascience.com
