Ricerca
Più di un secolo fa, Srinivasa Ramanujan scioccò il mondo matematico con la sua straordinaria capacità di vedere schemi notevoli nei numeri che nessun altro poteva vedere. Il matematico autodidatta indiano descriveva le sue intuizioni come profondamente intuitive e spirituali, e gli schemi spesso gli venivano in mente in sogni vividi. Queste osservazioni catturarono l’enorme bellezza e l’assoluta possibilità del mondo astratto della matematica pura. Negli ultimi anni, abbiamo iniziato a vedere l’intelligenza artificiale fare passi avanti aree che coinvolgono la profonda intuizione umanae più recentemente su alcuni dei problemi più difficili in tutte le scienzetuttavia, fino ad ora, le più recenti tecniche di intelligenza artificiale non hanno contribuito a risultati significativi nella ricerca matematica pura.
Nell’ambito di La missione di DeepMind Per risolvere l’intelligenza, abbiamo esplorato il potenziale dell’apprendimento automatico (ML) per riconoscere strutture e modelli matematici e aiutare a guidare i matematici verso scoperte che altrimenti non avrebbero mai potuto raggiungere, dimostrando per la prima volta che l’intelligenza artificiale può aiutare in prima linea nella matematica pura.
Il nostro documento di ricercapubblicato oggi sulla rivista Nature, descrive in dettaglio la nostra collaborazione con i migliori matematici per applicare l’intelligenza artificiale alla scoperta di nuove intuizioni in due aree della matematica pura: topologia e teoria delle rappresentazioni. Con Il professor Geordie Williamson all’Università di Sydney abbiamo scoperto una nuova formula per una congettura sulle permutazioni rimasta irrisolta per decenni. Con Il professor Marc Lackenby E Il professor András Juhász All’Università di Oxford abbiamo scoperto una connessione inaspettata tra diversi ambiti della matematica studiando la struttura dei nodi. Queste sono le prime scoperte matematiche significative fatte con l’apprendimento automatico, secondo i migliori matematici che hanno esaminato il lavoro. Stiamo inoltre pubblicando documenti completi su arXiv per ciascun risultato che verrà inviato alle riviste matematiche appropriate (carta permutazioni; carta con nodi). Attraverso questi esempi, proponiamo un modello di come questi strumenti potrebbero essere utilizzati da altri matematici per ottenere nuovi risultati.
Un nodo è uno degli oggetti fondamentali nella topologia a bassa dimensione. È un anello attorcigliato incorporato nello spazio tridimensionale.
Una permutazione è una riorganizzazione di un elenco ordinato di oggetti. La permutazione “32415” mette il 1° elemento nella 3a posizione, il 2° elemento nella 2a posizione e così via.
I due oggetti fondamentali che abbiamo indagato sono stati i nodi e le permutazioni.
Per molti anni i computer sono stati utilizzati dai matematici per generare dati utili nella ricerca di modelli. Conosciuto come matematica sperimentale, questo tipo di ricerca ha dato luogo a congetture ben note, come ad esempio la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer – uno dei sei Problemi del Premio del Millennioi problemi aperti più noti della matematica (con un premio di 1 milione di dollari allegato a ciascuno). Anche se questo approccio ha avuto successo ed è abbastanza comune, l’identificazione e la scoperta di modelli partendo da questi dati è ancora affidata principalmente ai matematici.
Trovare schemi è diventato ancora più importante nella matematica pura perché ora è possibile generare più dati di quanti qualsiasi matematico possa ragionevolmente aspettarsi di studiare in una vita. Alcuni oggetti di interesse – come quelli con migliaia di dimensioni – possono anche essere semplicemente troppo insondabili per ragionarci direttamente. Tenendo presenti questi vincoli, credevamo che l’intelligenza artificiale sarebbe stata in grado di aumentare le intuizioni dei matematici in modi completamente nuovi.
È come se Galileo prendesse in mano un telescopio e riuscisse a guardare in profondità nell’universo dei dati e vedere cose mai rilevate prima.
Marcus Du Sautoy, Simonyi Professore per la Comprensione Pubblica della Scienza e Professore di Matematica, Università di Oxford
I nostri risultati suggeriscono che il machine learning può integrare la ricerca matematica per guidare l’intuizione su un problema rilevando l’esistenza di modelli ipotizzati con l’apprendimento supervisionato e fornendo informazioni su questi modelli con tecniche di attribuzione derivanti dall’apprendimento automatico:
Con il professor Williamson, abbiamo utilizzato l’intelligenza artificiale per scoprire un nuovo approccio a una congettura di lunga data nella teoria della rappresentazione. Sfidando il progresso per quasi 40 anni, il congettura di invarianza combinatoriaafferma che dovrebbe esistere una relazione tra determinati grafi diretti e polinomi. Utilizzando le tecniche ML, siamo stati in grado di acquisire la certezza che tale relazione esiste effettivamente e di identificare che potrebbe essere correlata a strutture note come intervalli diedrali rotti e riflessioni estremali. Con questa conoscenza, il professor Williamson è stato in grado di congetturare un algoritmo sorprendente e bello che avrebbe risolto la congettura dell’invarianza combinatoria. Abbiamo verificato computazionalmente il nuovo algoritmo su oltre 3 milioni di esempi.
Con il professor Lackenby e il professor Juhász abbiamo esplorato i nodi, uno degli oggetti di studio fondamentali della topologia. I nodi non solo ci raccontano i molti modi in cui una corda può essere aggrovigliata, ma hanno anche connessioni sorprendenti con la teoria quantistica dei campi e la geometria non euclidea. Algebra, geometria e teoria quantistica condividono tutte prospettive uniche su questi oggetti e un mistero di vecchia data è il modo in cui questi diversi rami si relazionano: ad esempio, cosa ci dice la geometria del nodo sull’algebra? Abbiamo addestrato un modello ML per scoprire un tale schema e, sorprendentemente, questo ha rivelato che una particolare quantità algebrica – la firma – era direttamente correlata alla geometria del nodo, che non era precedentemente nota o suggerita dalla teoria esistente. Utilizzando tecniche di attribuzione derivanti dall’apprendimento automatico, abbiamo guidato il professor Lackenby alla scoperta di una nuova quantità, che chiamiamo pendenza naturale, che allude a un aspetto importante della struttura fino ad ora trascurato. Insieme siamo poi riusciti a dimostrare l’esatta natura del rapporto, stabilendo alcuni dei primi collegamenti tra questi diversi rami della matematica.
Abbiamo studiato se il machine learning potesse far luce sulle relazioni tra diversi oggetti matematici. Qui sono mostrati due “intervalli di Bruhat” e i loro “polinomi di Kazhdan-Lusztig” associati – due oggetti fondamentali nella teoria delle rappresentazioni. Un intervallo di Bruhat è un diagramma che rappresenta tutti i diversi modi in cui potresti invertire l’ordine di una raccolta di oggetti scambiandone solo due alla volta. I polinomi di KL dicono ai matematici qualcosa di profondo e sottile sui diversi modi in cui questo grafico può esistere nello spazio ad alta dimensione. Una struttura interessante inizia ad emergere solo quando gli intervalli di Bruhat hanno centinaia o migliaia di vertici.
I nostri modelli evidenziano strutture precedentemente sconosciute che ci hanno guidato verso nuovi sorprendenti risultati matematici. Qui viene mostrata una sorprendente relazione tra la geometria e la firma di un nodo. La geometria di un nodo ha a che fare con la sua forma (ad esempio il suo volume) se misurata in modo canonico. La firma è un invariante algebrico che può essere calcolato osservando il modo in cui il nodo si incrocia e si attorciglia.
L’uso di tecniche di apprendimento e di sistemi di intelligenza artificiale rappresenta una grande promessa per l’identificazione e la scoperta di modelli in matematica. Anche se certi tipi di modelli continuano a sfuggire al moderno machine learning, lo speriamo il nostro giornale Nature può ispirare altri ricercatori a considerare il potenziale dell’intelligenza artificiale come uno strumento utile nella matematica pura. Per replicare i risultati, chiunque può accedere al nostro quaderni interattivi. Riflettendo sull’incredibile mente di Ramanujan, Tempio di George Frederick James scrisse: “I grandi progressi nella matematica non sono stati fatti dalla logica ma dall’immaginazione creativa”. Lavorando con i matematici, non vediamo l’ora di vedere come l’intelligenza artificiale può elevare ulteriormente la bellezza dell’intuizione umana a nuovi livelli di creatività.
Fonte: deepmind.google
