Perché non è possibile estrarre reciprocamente informazioni precise su tempo e frequenza da una serie temporale e come l’analisi wavelet può affrontare questa limitazione
La connessione tra la trasformata di Fourier, il principio di incertezza e l’analisi delle serie temporali svela un’affascinante interazione che modella l’estrazione di informazioni temporali e di frequenza simultanee. Per comprendere questa relazione, è importante prima capire brevemente cosa sono la trasformata di Fourier (FT) e il principio di indeterminazione di conseguenza. Quindi, esploriamo la trasformata wavelet (WT) come uno strumento promettente per questa limitazione, rivelando eventi temporali di frequenze specifiche con sufficiente chiarezza.
1.1 Trasformata di Fourier
La trasformata di Fourier (FT) funge da ponte matematico tra i domini del tempo e della frequenza di una funzione. Un FT può essere descritto come:
Non entrerò nei dettagli in questo integrale, ma la parte importante è che an FT trasforma la funzione f(x) ad un’altra funzione g(OH) nello spazio delle frequenze. Conserva queste informazioni per dopo, sarà importante. (Per comprendere meglio il FT consiglio vivamente il video da 3Blu1Sopracciglia.)
1.2 Principio di incertezza come conseguenza della trasformata di Fourier
Nel 1927 il fisico Werner Heisenberg introdusse quello che è probabilmente uno dei concetti più famosi della meccanica quantistica, il principio di indeterminazione (1). Il principio è fondamentalmente un teorema sulle trasformate di Fourierquando due funzioni sono una trasformata di Fourier l’una dell’altra, entra in gioco il principio di indeterminazione.
Mentre evitiamo momentaneamente la sua intricata fisica, consideriamo solo l’essenza: il prodotto delle incertezze in posizione X E momento pag rimane limitato. Questa limitazione sottolinea il limite intrinseco nel misurare queste quantità con precisione infinita (se sei interessato dai un’occhiata a questo video).
Ciò accade perché la posizione e la quantità di moto sono una trasformata di Fourier l’una dell’altra! Nel caso dell’analisi delle serie temporali, l’analogo di posizione X e slancio P è la serie temporale in formato temporale T e frequenza OH spazio, rispettivamente.
Un’applicazione molto importante della trasformata di Fourier è nell’analisi delle serie temporali. Consideriamo uno scenario in cui dobbiamo trovare le frequenze inerenti nelle serie temporali. Ad esempio, pensa a discernere le frequenze prevalenti con cui le persone guardano un determinato contenuto. Pertanto, lo vogliamo trasformare f
