Scegli quello che si comporta bene ai confini
2 ore fa
Se guardi la storia dell'analisi di Fourier, vedrai che Jean-Baptiste Joseph Fourier formalizzò la serie che avrebbe portato il suo nome mentre lavorava sul problema del flusso di calore.
Una serie di Fourier rappresenta un segnale periodico come somma di sinusoidi le cui frequenze sono multipli interi della frequenza fondamentale.
Sappiamo intuitivamente che un punto caldo in un mezzo conduttivo diffonderà il calore in tutte le direzioni finché la temperatura non sarà uniforme. Non vi è alcun comportamento oscillatorio visibile in questo fenomeno, né nello spazio né nel tempo. Perché allora introdurre una serie di sinusoidi?
Il profilo di temperatura iniziale, l'equazione differenziale che governa e le condizioni al contorno determinano l'evoluzione della funzione di temperatura u(x, t) nel problema di un mezzo conduttivo unidimensionale come una sottile barra metallica. A quanto pare, le componenti di frequenza spaziale del profilo di temperatura iniziale saranno smorzate da un decadimento esponenziale nel tempo, con un fattore esponenziale che cresce come il quadrato della frequenza spaziale. In altre parole, le alte frequenze nel profilo di temperatura iniziale decadono molto più velocemente delle basse frequenze, il che spiega l’attenuazione della distribuzione della temperatura.
In questa storia, rivedremo le basi delle serie di Fourier per una funzione definita su un dominio finito. Porremo il problema in modo tale che la serie di Fourier risultante abbia alcune proprietà desiderabili ai confini del dominio. Questo approccio darà i suoi frutti quando applicheremo la serie di Fourier per risolvere un problema che coinvolge equazioni differenziali con alcuni vincoli ai confini.
Serie di Fourier: uno strumento per rappresentare funzioni periodiche
Le serie di Fourier possono approssimare le funzioni periodiche. Sia g(x) una funzione periodica con periodo 2L.
Perchè un periodo di 2L?
Siamo interessati a funzioni definite sul dominio finito (0, L). Possiamo costruire una funzione periodica g(x) il cui periodo è 2L dalla funzione f(x) definita su (0, L) con qualche riempimento scelto per avere proprietà desiderabili. Torneremo su questo punto più tardi.
Supponendo che esista una serie di Fourier, possiamo scrivere g(x) come:
Ad esempio, consideriamo la seguente funzione periodica g(x), con periodo 2L = 0,6:
Applicando le equazioni (2), (3), (4) e utilizzando l'integrazione numerica Simpson si ottengono i seguenti valori per aâ‚€, aâ‚™ e bâ‚™:
Questi valori, i coefficienti di Fourier, ci permettono di costruire un'approssimazione di g(x) con l'equazione (1). Più termini includiamo nella somma, più precisa sarà l'approssimazione. La Figura 2 mostra alcune approssimazioni con vari numeri di termini dalla somma nell'equazione (1).
Possiamo già formulare alcune osservazioni:
- Le discontinuità finite nel segnale sono tollerabili, ma generano distorsioni nell'approssimazione ricostruita. Chiamiamo queste oscillazioni in prossimità delle discontinuità Fenomeno di Gibbs.
- La serie di Fourier è la somma di un numero infinito di termini, ma possiamo troncare la sommatoria e avere comunque un'approssimazione ragionevole della funzione originale.
- Il segnale originale potrebbe essere un campione di punti discreti. La serie di Fourier può interpolare la funzione ovunque sull'asse x.
Funzioni definite su un dominio finito
Nei problemi di ingegneria, spesso incontriamo funzioni definite su un dominio finito. Ad esempio, nel caso della distribuzione unidimensionale della temperatura di un mezzo conduttivo, la funzione della temperatura è definita nell'intervallo (0, L), dove L è la lunghezza della sottile barra metallica. Come può essere utilizzata la serie di Fourier in questo contesto?
Per rispondere a questa domanda, riconosciamo innanzitutto che qualsiasi funzione periodica g(x) che coincide con la funzione sull'interesse f(x) nell'intervallo (0, L) è un valido candidato per una rappresentazione in serie di Fourier di f(x). Dopotutto, non ci interessa come si comporta la serie di Fourier al di fuori dell'intervallo (0, L).
L'ingenua replicazione periodica di f(x)
Il modo più semplice per costruire g(x) è replicare f(x) nell'intervallo (-L, 0), come in figura 3:
L'integrazione di Fourier per la replicazione periodica ingenua di f(x) produce le equazioni da (5) a (7):
Inserendo (5), (6), (7) nell'equazione da (1) a f(x) di Figura 3, otteniamo la ricostruzione in serie di Fourier mostrata in Figura 4:
La serie di Fourier corrisponde molto fedelmente al segnale originale, tranne che ai limiti dell'intervallo, dove la ricostruzione oscilla e salta. Poiché abbiamo costruito esplicitamente un segnale periodico di periodo L, la serie di Fourier interpreta le transizioni in x=0 e x=L come discontinuità finite.
Le discontinuità finite sono consentite dalla serie di Fourier, ma il fenomeno di Gibbs degrada la ricostruzione attorno alle discontinuità.
Per molti casi di ingegneria, questo è problematico. Ad esempio, nel caso del trasferimento di calore in una barra metallica sottile, ciò che accade alle estremità della barra (ovvero le condizioni al contorno) è una parte intrinseca della descrizione del problema. Potremmo avere una barra isolata, il che implica che il gradiente di temperatura deve essere 0 ad entrambe le estremità. In alternativa, potremmo avere temperature impostate arbitrarie a x=0 e x=L. In questi scenari comuni, non possiamo utilizzare l'ingenua replicazione periodica di f(x) perché il fenomeno di Gibbs corrompe il segnale alle estremità dell'intervallo.
Espansione anche a metà portata
Invece di replicare f(x), potremmo avere una versione capovolta di f(x) nell'intervallo (-L, 0), come nella Figura 5:
Questo approccio elimina le discontinuità in x=0 e x=L. L'integrazione di Fourier per l'espansione pari di f(x) produce le equazioni da (8) a (10):
La Figura 6 mostra la ricostruzione in serie di Fourier di f(x):
Una caratteristica dell'espansione a metà intervallo pari è il fatto che essendo g(x) pari, tutti i coefficienti b™ (cfr. equazione (10)) sono 0, e quindi la sua serie di Fourier è composta esclusivamente da termini coseno. Come conseguenza, la derivata della serie di Fourier è zero in x=0 e x=L. Puoi verificarlo differenziando l'equazione (1) rispetto a x, con tutti i termini bâ‚™ impostati su 0.
Questo è ciò che vogliamo in uno scenario in cui, ad esempio, la barra metallica è isolata, quindi non ci sono perdite di calore alle estremità.
Strana espansione a metà portata
E se invece creassimo una funzione strana? Ciò può essere ottenuto incollando una versione ruotata di f(x) nell'intervallo (-L, 0), come nella Figura 7:
L'integrazione di Fourier per l'espansione dispari di f(x) produce le equazioni da (11) a (13):
La Figura 8 mostra la ricostruzione in serie di Fourier di f(x):
Essendo g(x) dispari, la serie di Fourier è composta esclusivamente da termini seno. Per questa ragione, la serie di Fourier è zero in x=0 e x=L. Questa proprietà può essere sfruttata, ad esempio, quando simuliamo la forma di una corda di chitarra oscillante. L'altezza della stringa è vincolata a 0 in x=0 e x=L, quindi modelleremo naturalmente la condizione iniziale con semiespansione dispari.
Anche espansione di un quarto
Possiamo essere ancora più creativi e progettare una funzione periodica con un periodo di 4L. Se vogliamo una derivata esattamente 0 in x=0 e una transizione graduale, sia in valore che in derivata, in x=L, possiamo aggiungere una copia ruotata di f(x) nell'intervallo (L, 2L) e creare anche questa funzione. La Figura 9 mostra un esempio:
L'integrazione di Fourier per l'espansione pari di un quarto di f(x) produce le equazioni da (14) a (16):
La Figura 10 mostra la ricostruzione in serie di Fourier di f(x):
Sebbene non sia visibile dalla figura, la derivata della ricostruzione in serie di Fourier è 0 in x=0 ed identica al segnale originale in x=L.
Strana espansione di un quarto di intervallo
L'ultimo caso che considereremo è quando vogliamo un valore di 0 in x=0 e una derivata di 0 in x=L. Costruiamo g(x) aggiungendo una versione invertita di f(x) nell'intervallo (L, 2L) e rendiamo questa funzione dispari.
L'integrazione di Fourier per l'espansione del quarto dispari di f(x) produce le equazioni da (17) a (19):
La Figura 12 mostra la ricostruzione in serie di Fourier di f(x):
Possiamo vedere che la ricostruzione passa per 0 in x=0. La derivata è zero in x=L, anche se la derivata del segnale originale non lo è.
Conclusione
Abbiamo considerato il problema di trovare un'adeguata espansione in serie di Fourier per un segnale f(x) definito sull'intervallo finito (0, L). Le serie di Fourier si applicano alle funzioni periodiche, quindi abbiamo dovuto costruire una funzione periodica che corrisponda a f(x) nel dominio definito. Abbiamo osservato quattro metodi per definire la funzione periodica g(x). Ciascuno garantisce proprietà specifiche ai confini dell'intervallo:
- Espansione anche a metà intervallo: la serie di Fourier ha una derivata di 0 in x=0 e x=L
- Espansione dispari di semiintervallo: la serie di Fourier ha un valore di 0 in x=0 e x=L
- Espansione pari a un quarto di intervallo: la serie di Fourier ha una derivata di 0 in x=0 e valore e derivata uniformi in x=L
- Espansione dispari di un quarto di intervallo: la serie di Fourier ha un valore di 0 in x=0 e una derivata di 0 in x=L
In un prossimo articolo esamineremo come viene trasferito il calore in una sottile barra di metallo. La soluzione prevede la conversione del profilo di temperatura iniziale in una serie di Fourier. Osserveremo che la scelta del tipo di espansione in serie di Fourier è naturalmente dettata dalle condizioni al contorno (ad esempio, la barra è isolata in x=0 e mantenuta a una temperatura fissa in x=L). Le funzioni periodiche apparentemente arbitrarie che abbiamo creato in questo post improvvisamente avranno senso!
Fonte: towardsdatascience.com
